Question

【題目】已知向量 ， 滿足| |=| =1，且|k + |= | ﹣k |（k＞0），令f（k）= ． （Ⅰ）求f（k）= （用k表示）；
（Ⅱ）若f（k）≥x2﹣2tx﹣ 對任意k＞0，任意t∈[﹣1，1]恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設得 ，對 兩邊平方得：

；

∴ ；

∴ ；

∴ ；

（Ⅱ） ，當且僅當k=1時取“=”；

∵f（k）≥x2﹣2tx﹣ 對任意的k＞0，t∈[﹣1，1]恒成立；

∴ ≥x2﹣2tx﹣ ；

即g（t）=2xt﹣x2+1≥0在[﹣1，1]上恒成立，而g（t）在[﹣1，1]上為單調函數或常函數；

；

解得1﹣ ≤x≤ ﹣1；

故實數x的取值范圍為[1﹣ ， ﹣1]．

【解析】（Ⅰ）根據 ，對 兩邊平方即可求出 的值，從而得出 ；（Ⅱ）先根據基本不等式求出k=1時，f（k）取最小值 ，這樣根據條件即可得到 對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，即得到g（t）=2xt﹣x2+1≥0對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，從而得到 ，這樣即可解出x的取值范圍．