Question

若二項式(x

x

-

1

x

)6的展開式中第5項的值是5，則

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)的值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、-

  1

  4

• C、2
• D、不存在

Answer 1

分析：由題意可得5=C₆⁴(x

3

2

)2•(-

1

x

)4=15x，解得 x=3，再利用等比數(shù)列的求和公式可得，要求的式子為

lim

n→∞

1 x (1-( 1 x )n)

1- 1 x

=

lim

n→∞

1 3 (1-( 1 3 )n)

2 3

=

1 3 (1-0)

2 3

，運算得到結(jié)果．

解答：解：二項式(x

x

-

1

x

)6的展開式中第5項的值是5=C₆⁴(x

3

2

)2•(-

1

x

)4=15x，∴x=3．

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

1 x (1-( 1 x )n)

1- 1 x

=

lim

n→∞

1 3 (1-( 1 3 )n)

2 3

=

1 3 (1-0)

2 3

=

1

2

，
故選  A．

點評：本題考查二項展開式的通項公式，求展開式中的某項，等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列極限的運算法則，求出 x=3，是
解題的關(guān)鍵．