Question

設對于不大于的所有正實數a，如果滿足不等式|x-a|＜b的一切實數x，也滿足不等式，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得b＞0，求出這兩個不等式的解集，由題意可得 a²-≤a-b，且 a+b≤a²+，0＜a≤．由此可得b小于或等于-a²+a+ 的最小值，且b小于或等于 a²-a+的最小值，由此求得實數b的取值范圍．
解答：解：由題意可得b＞0是不用求的，否則|x-a|＜b都沒解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式可得，-＜x-a²＜，即 a²-＜x＜a²+．
第二個不等式的范圍要大于第一個不等式，這樣只要滿足了第一個不等式，
肯定滿足第二個不等式，命題成立．
故有 a²-≤a-b，且 a+b≤a²+，0＜a≤．
化簡可得 b≤-a²+a+，且b≤a²-a+．
由于-a²+a+=-+∈[，]，故 b≤．
由于 a²-a+=+∈[，]．故 b≤．
綜上可得 0＜b≤．
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，求二次函數在閉區間上的值域，函數的恒成立問題，屬于中檔題．