【題目】設
， 
，令
， 
， 
.
（1）寫出
， 
， 
的值，并猜想數列
的通項公式；
（2）用數學歸納法證明你的結論.
【答案】(1)a1＝1，a2＝
，a3＝
；a4＝
，猜想an＝
（n∈N+）；(2)證明見解析.
【解析】試題分析：
（1）由題意結合函數的解析式計算可得a2＝f（a1）＝
，a3＝f（a2）＝
；a4＝f（a3）＝
，猜想an＝
（n∈N+）；
（2）首先證明n＝1時，猜想正確. 然后假設n＝k時猜想正確，即ak＝
，證明n＝k＋1時猜想正確即可證得題中的結論.
試題解析：
（1）∵a1＝1，
∴a2＝f（a1）＝f（1）＝
，
a3＝f（a2）＝
；a4＝f（a3）＝
，
猜想an＝
（n∈N+）；
（2）證明：①易知，n＝1時，猜想正確.
②假設n＝k時猜想正確，即ak＝
，
則ak＋1＝f（ak）＝
=
.
這說明n＝k＋1時猜想正確.
由①②知，對于任何n∈N+，都有an＝
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x（1+a|x|），a∈R．
（1）當a=-1時，求函數
的零點；
（2）若函數f（x）在R上遞增，求實數a的取值范圍；
（3）設關于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若
，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC= 
sinA．
（1）求角B的值；
（2）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值時角A，C的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題中：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”為假命題．
②命題“若x2-4x+3=0，則x=3”的逆否命題為：“若x≠3，則x2-4x+3≠0”．
③“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要條件
④關于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，則m≤4．
其中所有正確命題的序號是______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，當a+b≠0時，總有
．
（1）判斷函數f（x）在[-1，1]上的單調性，并證明你的結論；
（2）解不等式：
；
（3）若f（x）≤m2-2pm+1對所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常數），試用常數p表示實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在R上的函數f(x)滿足f(4)=1,f′(x)為f(x)的導函數,已知y=f′(x)的圖象如圖所示,若兩個正數a,b滿足f(2a+b)<1,則
的取值范圍是____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為 
（t為參數），在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ= 
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求△AOB的面積．
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