Question

如圖所示，S是邊長為a的正△ABC所在平面外一點，SA=SB=SC=a,E、F分別是SC和AB的中點.

（1）求異面直線SC和AB的距離；

（2）求異面直線SA和EF所成的角.

Answer 1

解析：（1）連結SF、CF，?

∵△SAB、△CAB是正三角形，∴SF=CF=a,且SF虯B，CF⊥AB.?

又SF∩CF=F，∴AB⊥面SFC.?

∴AB⊥EF于F.?

又SF=CF，∴△FSC是等腰三角形.?

又E是SC中點，∴FE⊥SC于E.?

∴EF是SC與AB的公垂線段.?

在Rt△SEF中，SF=a,SE=a,?

∴由勾股定理可知EF=.?

因此，異面直線SC與AB的距離為.?

（2）取AC中點M，連結EM、FM.?

∵E、F、M分別為SC、AB、CA中點，?

∴EM∥SA，FM∥CB，?

且EM=SA，FM=CB.?

∴EM=FM=12a.?

∴∠MEF是SA與EF所成的角或其補角.?

∵EM=FM=a,EF=a,?

∴EF²=FM²+EM²,即FM⊥EM.?

∴△EMF是等腰直角三角形.?

∴∠MFE=45°,即SA與EF所成的角是45°.