Question

請你設計一個紙盒．如圖所示，ABCDEF是邊長為30cm的正六邊形硬紙片，切去陰影部分所示的六個全等的四邊形，再沿虛線折起，正好形成一個無蓋的正六棱柱形狀的紙盒，G、H分別在AB、AF上，是被切去的一個四邊形的兩個頂點，設AG=AH=x（cm）．（1）若要求紙盒的側面積S（cm²）最大，試問x應取何值？
（2）若要求紙盒的容積V（cm³）最大，試問x應取何值？并求此時紙盒的高與底面邊長的比．

Answer 1

分析：（1）由AG=AH=x，得到正六棱柱的底面正六邊形的邊長為（30-2x），因為正六邊形的一個內角為120°，由此可解得正六棱柱的高為

3

x，然后直接利用正六棱柱的側面積公式寫出側面積，運用二次函數求最值；
（2）求出邊長為（30-2x）的正六邊形的面積，則紙盒的容積V可求，求導后利用導數求最大值，并求出當容積最大時的x的值，從而得到紙盒的高與底面邊長的比．

解答：解：（1）由平面圖形知，正六棱柱的底面正六邊形的邊長為（30-2x），
根據平面圖形中的小陰影四邊形的最大角為∠HAG=120°，可得正六棱柱的高為

3

x，
所以紙盒的側面積S=6•(30-2x)•

3

x=12

3

x(15-x)，x∈（0，15），
因為該二次函數開口向下，且對稱軸方程為x=

15

2

，
所以當x=

15

2

cm時，側面積S最大，最大側面積為

225 3

2

（cm²）． 
（2）因紙盒的底面是邊長為（30-2x）的正六邊形，
所以底面積為S=

1

2

×(30-2x)×

3

2

×(30-2x)=

3

4

(30-2x)2．
所以紙盒的容積V=6×

3

4

(30-2x)2•

3

x=

9

2

(4x3-120x2+900x)，x∈（0，15），
由V′(x)=

9

2

(12x2-240x2+900)=0，得x=5，或x=15（舍去），
列表：

x	（0，5）	5	（5，15）
V'（x）	+	0	-
V（x）	↗	極大值9 000	↘

所以當x=5cm時，容積V最大，此時紙盒的高與底面邊長的比為

5 3

30-2×5

=

3

4

．

點評：本題考查了導數在最大值最小值中的應用，考查了正六邊形的面積的求法，解答此題的關鍵是用x表示紙盒的高，同時需要注意的是實際問題要注明有實際意義的定義域，此題是中檔題．