Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x-1）²+y²=16，圓C₂：（x+1）²+y²=1，點S為圓C₁上的一個動點，現將坐標平面折疊，使得圓心C₂（-1，0）恰與點S重合，折痕與直線SC₁交于點P．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過動點S作圓C₂的兩條切線，切點分別為M、N，求MN的最小值；
（3）設過圓心C₂（-1，0）的直線交圓C₁于點A、B，以點A、B分別為切點的兩條切線交于點Q，求證：點Q在定直線上．

Answer 1

分析：（1）由題意得|PC₁|+|PC₂|=|PC₁|+|PS|=4＞|C₁C₂|，故P點的軌跡是以C₁、C₂為焦點，4為長軸長的橢圓，由此可求P點的軌跡方程；
（2）法1（幾何法） 根據四邊形SMC₂N的面積=

1

2

SC2•MN=

1

2

SM•MC2×2=SM，可得MN=

2SM

SC2

=2cos∠MSC2=2

1-sin2∠MSC2

=2

1- 1 SC22

，從而SC₂取得最小值時，MN取得最小值；
法2（代數法） 設S（x₀，y₀），設出以SC₂為直徑的圓的標準方程，該方程與圓C₂的方程相減得，求出圓心C₂到直線MN的距離，d=

1

16+4x0

，根據x₀∈[-3，5]，求得d_max=

1

2

，從而可求求MN的最小值；
（3）設Q（m，n），求出“切點弦”AB的方程，將點（-1，0）代入，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意得|PC₁|+|PC₂|=|PC₁|+|PS|=4＞|C₁C₂|，故P點的軌跡是以C₁、C₂為焦點，4為長軸長的橢圓，
則2a=4，c=1，所以a=2，b=

3

，故P點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）法1（幾何法） 四邊形SMC₂N的面積=

1

2

SC2•MN=

1

2

SM•MC2×2=SM，
所以MN=

2SM

SC2

=2cos∠MSC2=2

1-sin2∠MSC2

=2

1- 1 SC22

，（9分）
從而SC₂取得最小值時，MN取得最小值，顯然當S（-3，0）時，SC₂取得最小值2，
所以MNmin=2

1- 1 4

=

3

．（12分）
法2（代數法） 設S（x₀，y₀），則以SC₂為直徑的圓的標準方程為(x-

x0-1

2

)2+(y-

y0

2

)2=(

x0+1

2

)2+(

y0

2

)2，
該方程與圓C₂的方程相減得，（x₀+1）x+y₀y+x₀=0，（8分）
則圓心C₂到直線MN的距離d=

1

(x0+1)2+y02

=

1

x02+y02+2x0+1

，
因為(x0-1)2+y02=16，所以x02+y02=15+2x0，從而d=

1

16+4x0

，x₀∈[-3，5]，
故當x₀=-3時d_max=

1

2

，
因為MN=2

1-d2

，所以MNmin=2

1-( 1 2 )2

=

3

．（12分）
（3）設Q（m，n），則“切點弦”AB的方程為（m-1）（x-1）+ny=16，
將點（-1，0）代入上式得m=-7，n∈R，故點Q在定直線x=-7上．（16分）

點評：本題主要考查直線、圓、橢圓基礎知識，考查運算求解、綜合應用能力．