Question

已知數列{a_n}，{c_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，cn=

1

(2n+1)(2n+3)

．
（1）求證數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n，并求使得Tn＞

1

am

對任意n∈N^*都成立的正整數m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1，知a_n+1+1=2（a_n+1），由此能證明數列{a_n+1}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，用裂項求和法求出T_n=

n

6n+9

，由此能求出使得Tn＞

1

am

對任意n∈N^*都成立的正整數m的最小值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）
∴數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，…（6分）
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3×(2n+3)

=

n

6n+9

．…（8分）
∵

Tn+1

Tn

=

n+1

6n+15

•

6n+9

n

=

6n2+15n+9

6n2+15n

=1+

9

6n2+15n

＞1，
又T_n＞0，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即數列{T_n}是遞增數列．
∴當n=1時，T_n取得最小值

1

15

．…（10分）
要使得Tn＞

1

am

對任意n∈N^*都成立，
結合（Ⅰ）的結果，只需

1

15

＞

1

2m-1

，
由此得m＞4．
∴正整數m的最小值是5．…（12分）

點評：本題考查數列是等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的正整數的最小值的求法．解題時要認真審題，注意構造法和裂項求和法的合理運用．