Question

已知橢圓的中心和拋物線的頂點都在坐標原點，和有公共焦點，點在軸正半軸上，且的長軸長、短軸長及點到右準線的距離成等比數列。

（Ⅰ）當的準線與右準線間的距離為時，求及的方程；

（Ⅱ）設過點且斜率為的直線交于，兩點，交于，兩點。當時，求的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設：，其半焦距為．則：．

　由條件知，得．

　的右準線方程為，即．

　的準線方程為．

　由條件知，　所以，故，．

從而：，   ：．

（Ⅱ）由題設知：，設，，，．

　　　由（Ⅰ）知，即

由， 知滿足   ，

從而　

由條件,得，  故：．

由  得，所以

于是