Question

若函數f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足f（0）=f（x₁）=f（x₂）=0（0＜x₁＜x₂），且在區間[x₂，+∞）上單調遞增，則實數b的取值范圍是

b＜0

．

Answer 1

分析：由已知，0，x₁，x₂ 是函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的三個零點，可以畫出它的大致圖象．分兩種情況．結合圖象分析求解．

解答：解：：∵f（0）=0∴d=0，
∴f（x）=ax³+bx²+cx=x（ax²+bx+c），
又f（x₁）=f（x₂）=0，且0＜x₁＜x₂，∴x₁，x₂是ax²+bx+c=0兩根，且a≠0．
由韋達定理x₁+x₂=-

b

a

＞0，①
當a＞0時，f（x）=ax³+bx²+cx+d的大致圖象為：
由圖，符合f（x）在（x₂，+∞）上是增函數，∴a＞0滿足條件由①得，b＜0
當a＜0時，f（x）=ax³+bx²+cx+d的大致圖象為：
此時f（x）在（x₂，+∞）上不是增函數，不合題意．

故答案為：b＜0

點評：本題主要考查了三次函數的圖象，及函數單調區間的概念．數形結合的思想方法起到了重要作用．