Question

對于集合M，定義函數f_M（x）=，對于兩個集合M，N，定義集合M?N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1．已知A={1，2，3，4，5，6}，B={1，3，9，27，81}．
（Ⅰ）寫出f_A（2）與f_B（2）的值，并用列舉法寫出集合A?B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的個數，求Card（X?A）+Card（x?b）的最小值；
（III）有多少個集合對（P，Q），滿足P，Q⊆A∪B，且（P?A）?（Q?B）=A?B．

Answer 1

解：（Ⅰ）f_A（2）=-1，f_B（2）=1，
∴A?B={2，4，5，6，9，27，81}．…（3分）
（Ⅱ）X?A={x|x∈X∪A，x∉X∩A}，X?B={x|x∈X∪B，x∉X∩B}
要使Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，
1，3一定屬于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，
所以當集合X為{2，4，5，6，9，27，81}的子集與集合{1，3}的并集時，
Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，最小值是7 …（8分）
（Ⅲ）因為f_A?B（x）=f_A（x）•f_B（x），
f_（A?B）?C（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x）
所以?運算具有交換律和結合律，
所以（P?A）?（Q?B）=（P?Q）?（A?B）
而（P?A）?（Q?B）=（A?B）
所以P?Q=∅，所以P=Q，而A∪B={1，2，3，4，5，6，9，27，81}
所以滿足條件的集合對（P，Q）有2⁹=512個 …（13分）
分析：（Ⅰ）直接利用新定義寫出f_A（2）和f_B（2）的值，并用列舉法寫出集合A?B；
（Ⅱ）要使Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，1，3一定屬于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，所以當集合X為{2，4，5，6，9，27，81}的子集與集合{1，3}的并集時，從而得出Card（X?A）+Card（x?b）的最小值；
（III）先驗證得到?運算具有交換律和結合律，從而有（P?A）?（Q?B）=（P?Q）?（A?B），而（P?A）?（Q?B）=（A?B），所以P?Q=∅，所以P=Q，而A∪B={1，2，3，4，5，6，9，27，81}，從而得到滿足條件的集合對（P，Q）有2⁹個．
點評：本題考查子集與交集、并集運算的轉換，集合的基本運算，考查邏輯推理能力，分類討論思想的應用．