Question

已知函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）若f（θ+

π

12

）=

1

3

，θ∈（

π

4

，

π

2

），求sin2θ的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,二倍角的正弦

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（2x+

π

6

）從而可根據正弦函數的性質求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合；
（2）根據已知可先求sin（2θ+

π

3

），cos（2θ+

π

3

）的值，從而由sin2θ=sin（2θ+

π

3

-

π

3

）=sin（2θ+

π

3

）cos

π

3

-cos（2θ+

π

3

）sin

π

3

即可求值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=sin（2x+

π

6

），
∴當x∈{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}，f（x）_max=1；
（2）∵f（θ+

π

12

）=

1

3

，θ∈（

π

4

，

π

2

），
∴可解得：sin（2θ+

π

3

）=

1

3

，2θ∈（

π

2

，π），
∴cos（2θ+

π

3

）=-

2 2

3

，
∴sin2θ=sin（2θ+

π

3

-

π

3

）=sin（2θ+

π

3

）cos

π

3

-cos（2θ+

π

3

）sin

π

3

=

1+2 6

6

，
∴sin2θ=

2 6 +1

6

．

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數，二倍角的正弦公式的應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．