Question

【題目】已知函數，（其中為常數）.

（1）如果函數和有相同的極值點，求的值；

（2）當，恒成立，求的取值范圍；

（3）記函數，若函數有個不同的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）（3）

【解析】

（1）利用導數求極值點可得結果.

（2）利用等價轉換的思想，構造新的二次函數，利用二次函數性質可得結果.

（3）根據等價轉換的思想，利用導數分別研究的單調性，結合分類討論的思想判斷根的情況，最后作出檢驗可得結果.

（1），

則，

令，得或，而

在處有極大值，∴，

或；綜上：或.

（2）由已知得在上恒成立

等價于在上恒成立，

令，

①若，即時，恒成立

②若，即或時，，得

綜上

（3）由題意有有3個不同的實根.

有2個不同的實根，且這2個實根兩兩不相等.

（1）有個不同的實根，

只需滿足或

（2）有3個不同的實根，

1*當即時，

在上為增函數，

在上為減函數，在上為增函數，

在處取得最大值，

即，不符合題意，舍；

2*當即時，不符合題意，舍；

3*當即時，

在上為增函數，

在上為減函數，在上為增函數.

在處取得極大值，

；所以

因為（i）（ii）要同時滿足，

故，（注：也對）

下證：這5個實根兩兩不相等，

即證：不存在使得，

在同時成立；

若存在使得

由，

即，

得

當時，，不符合，舍去；

當時，即存①；

又由，即②；

聯立①②式，可得；

當時，

便有5個不同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等.

綜上，當時，函數有5個不同的零點.