Question

設f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在區間[-2，2]上的最大值、最小值分別為M、m，集合A={x|f（x）≤x}，
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若M+m≠8a+2c，求證：|

b

a

|＜4；
（3）若A=2，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），M-m的最小值記為g（n），估算使g（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接寫出你的結果，不必詳細說理）

Answer 1

分析：（1）由A=[1，2]，得到不等式f（x）≤x的解集為[1，2]，把f（x）的解析式代入不等式化簡后，得到一個關于x的不等式小于等于0，則不等式左邊等于0時，方程的兩個根為1和2，根據韋達定理即可求出a與b的值，又因為f（0）=2，代入即可求出c的值，即可確定出f（x）的解析式，根據二次函數的對稱軸與區間的關系，由二次函數的圖象與性質得到最大值為f（-2），最小值為f（1），即可求出M與m的值；
（2）利用反證法證明，先假設所證的式子大于等于4，得到f（x）的對稱軸不屬于（-2，2），所以得到f（x）在（-2，2）單調，即可求出M+m的值為f（-2）+f（2），且等于8a+2c，與已知的M+m≠8a+2c矛盾，所以假設錯誤，原命題正確，得證；
（3）由A=2，得到ax²+（b-1）x+2=0有兩個等根，求出兩個等根，利用韋達定理由a表示出b和c，代入對稱軸即可求出對稱軸的范圍，得到對稱軸在區間（0，2），根據二次函數的圖象與性質即可表示出最大值M和最小值m，利用M-m即可得到g（n）的解析式，根據n為正整數即可估算出此時n的值．

解答：解：（1）∵A=[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集為[1，2]，
∴方程ax²+（b-1）x+2=0的兩個根x₁=1，x₂=2，
由韋達定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
則f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；
（2）若|

b

a

|≥4，則函數y=f（x）的對稱軸x=-

b

2a

∉(-2，2)，
∴f（x）在[-2，2]上單調，
∴M+m=f（-2）+f（2）=8a+2c，與已知矛盾，
∴|

b

a

|＜4；
（3）∵A=2，∴ax²+（b-1）x+2=0有兩個等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，其對稱軸x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈(0，2)，(a≥2n)，∴M=f(-2)=16a-2，m=

8a-1

4a

，M-m=16a+

1

4a

-4，g(n)=2n+4+

1

2n+2

-4
滿足條件的n取值為6、7、8、9．

點評：此題考查學生靈活運用韋達定理解決數學問題的能力，要求學生掌握二次函數的圖象與性質及會利用反證法進行證明命題為真命題，是一道綜合題．