Question

已知長方形ABCD，AB=6，BC=7/4。以AB的中點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系xOy。

（1）求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓C的標準方程；

（2）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

Answer 1

（1）

（2）（i）時，點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。

（ii）時，方程為，

當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；

當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；

當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓。

解析:

（1）

（2）設，其中。由已知及點在橢圓上可得

。整理得，其中。

（i）時，化簡得，所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。

（ii）時，方程變形為，其中，

當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；

當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；

當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓。