Question

已知長方形ABCD的AB=3，AD=4．AC∩BD=O．將長方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．過A作BD的垂線交BD于E．

（1）問a為何值時，AE⊥CD；
（2）當二面角A-BD-C的大小為90°時，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）在△ABD中，AE⊥BD，根據AB=3，AD=4，可得BD=5，AE=

12

5

，DE=

16

5

，利用余弦定理可求CE，利用△ACE為直角三角形，可求AC的長；
（2）證明AE⊥面BCD，過E作BC的垂線交BC于F，連接AF，可得∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，進而可求二面角A-BC-D的正切值．

解答：（1）證明：根據題意，在△ABD中，AE⊥BD，
∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴AE=

12

5

∴DE=

16

5

，
∵cos∠BDC=

3

5

，∴CE2=9+

256

25

-2×3×

16

5

×

3

5

=

193

25

當△ACE為直角三角形時，有a=

337

5

，即a=

337

5

時，△ACE為直角三角形
此時∵AE⊥BD，AE⊥EC，BD∩EC=E
∴AE⊥面BCD，∴AE⊥CD． 
（2）解：∵二面角A-BD-C的大小為90°，AE⊥BD，∴AE⊥面BCD，
過E作BC的垂線交BC于F，連接AF，
∵AE⊥BC，BC⊥EF，∴BC⊥面AEF，∴BC⊥AF，
∴∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，
∵EF=

27

25

，而AE=

12

5

，
∴tan∠AFE=

AE

EF

=

20

9

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出面面角．