Question

已知f（x）=（x-2）•|x+1|若關于x的方程f（x）=x+t有三個不同的實數解，則實數t的取值范圍（　　）

A．（-1，1]

B．[-3，2）

C．（-3，1）

D．（-1，2）

Answer 1

分析：分別作出函數f（x）和g（x）=x+t的圖象，利用圖象確定兩個函數滿足有三個不同的實數解的等價條件即可求t的取值范圍．

解答：解：當x≥-1時，f（x）=（x-2）（x+1）=x²-x-2，
當x＜-1時，f（x）=-（x-2）（x+1）=-x²+x+2，
設g（x）=x+t，∴要使方程f（x）=x+t有三個不同的實數解，即函數f（x）和g（x）=x+t有3個不同的交點．
作出函數f（x）的圖象，由圖象可知，
當直線y=x+t經過點（-1，0）時，兩個函數有兩個交點，此時t=1．
當x＞-1時，當直線y=x+t與拋物線相切時，兩個函數有兩個交點，
由f（x）=x²-x-2=x+t得，x²-2x-2-t=0，
判別式△=4-4（-2-t）=0，即4+8+4t=0，∴t=-3，
此時直線y=x-3與拋物線相切，
∴要使函數f（x）和g（x）=x+t有3個不同的交點，
則-3＜t＜1，
即數t的取值范圍是（-3，1），
故選：C．

點評：本題主要考查方程根的個數的應用，將方程問題轉化為兩個函數圖象交點的問題是解答本題的關鍵．利用數形結合是解決此類問題的基本方法．