Question

在直角坐標平面內，曲線C的參數方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數），經過變換

X= 1 2 x+1 Y=y

后曲線C變換為曲線C′
（1）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C′的極坐標方程；
（2）求證：直線x-

2

y-2=0與曲線C'的交點在曲線C上．

Answer 1

分析：（1）把曲線C的參數方程代入變換式

X= 1 2 x+1 Y=y

，再消去參數α即可得到曲線C^′；
（2）聯立直線與曲線C'的方程，解得交點，代入曲線C的方程看是否成立即可得出答案．

解答：解：（1）把曲線C的參數方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數），代入經過變換

X= 1 2 x+1 Y=y

后得

X=1+cosα Y=sinα

，消去參數α得曲線C'：（X-1）²+Y²=1，
即曲線C^′是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，故其極坐標方程為ρ=2cosθ．
（2）聯立得

x- 2 y-2=0 (x-1)2+y2=1

，解得

x=2 y=0

或

x= 2 3 y=- 2 2 3

，即兩交點為(2，0)，(

2

3

，-

2 2

3

)．
由曲線C的參數方程

x=2cosα y=sinα

（α為參數），消去參數α得

x2

4

+y2=1．
把兩交點為(2，0)，(

2

3

，-

2 2

3

)代入上述方程得：

x2

4

+0=1，

( 2 3 )2

4

+(-

2 2

3

)2=1，
可知該兩點均在曲線C上．

點評：正確理解變換和方程組的解與曲線的交點之間的關系是解題的關鍵．