Question

現(xiàn)有A，B兩球隊進行友誼比賽，設A隊在每局比賽中獲勝的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）若比賽6局，求A隊至多獲勝4局的概率；
（Ⅱ）若采用“五局三勝”制，求比賽局數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“比賽6局，A隊至多獲勝4局”為事件A，利用相互對立事件的概率計算公式可得P（A）=1-[

C

5 6

（

2

3

）⁵（1-

2

3

）+

C

6 6

（

2

3

）⁶]即可．
（Ⅱ）由題意可知，ξ的可能取值為3，4，5．利用互斥事件的概率計算公式和獨立事件的概率計算公式即可得出．P（ξ=3）=（

2

3

）³+（

1

3

）³，P（ξ=4）=

C

2 3

（

2

3

）²×

1

3

×

2

3

+

C

2 3

（

1

3

）²×

2

3

×

1

3

，P（ξ=5）=

C

2 4

（

2

3

）²（

1

3

）²．再利用數(shù)學期望的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）記“比賽6局，A隊至多獲勝4局”為事件A，
則P（A）=1-[

C

5 6

（

2

3

）⁵（1-

2

3

）+

C

6 6

（

2

3

）⁶]=1-

256

729

=

473

729

．
故A隊至多獲勝4局的概率為

473

729

．
（Ⅱ）由題意可知，ξ的可能取值為3，4，5．
P（ξ=3）=（

2

3

）³+（

1

3

）³=

9

27

=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

2 3

（

2

3

）²×

1

3

×

2

3

+

C

2 3

（

1

3

）²×

2

3

×

1

3

=

10

27

，
P（ξ=5）=

C

2 4

（

2

3

）²（

1

3

）²=

8

27

．
∴ξ的分布列為：
∴E（ξ）=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點評：熟練掌握隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算方法、相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式等是解題的關鍵．