Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)+sin2x+

3

4

，x∈R
（1）求f(

8π

3

)的值；
（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，是多少？

Answer 1

分析：（1）依題意知，f（x）=-cos²x-cosx+

7

4

，于是可求得f（

8π

3

）的值；
（2）化簡(jiǎn)得f（x）=-cos²x-cosx+

7

4

=-(cosx+

1

2

)2+2，于是可知當(dāng)cosx=-

1

2

，函數(shù)f（x）有最大值2．

解答：解：（1）∵f（x）=sin（x-

π

2

）+sin²x+

3

4

=-cosx+1-cos²x+

3

4

=-cos²x-cosx+

7

4

，
∴f（

8π

3

）=-cos2

8π

3

-cos

8π

3

+

7

4

=-cos2

2π

3

-cos

2π

3

+

7

4

=-

1

4

+

1

2

+

7

4

=2；
（2）∵f（x）=-cos²x-cosx+

7

4

=-(cosx+

1

2

)2+2，
∴當(dāng)cosx=-

1

2

，
即x=±

2π

3

+2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）有最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦與誘導(dǎo)公式，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，突出配方法的考查，屬于中檔題．