Question

設連接雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

a2

=1(a＞0，b＞0)的4個頂點的四邊形面積為S₁，連接其4個焦點的四邊形面積為S₂，則

S1

S2

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：根據對稱性，兩個四邊形的面積都可以分為四個全等的直角三角形的面積，兩個面積的比值用a，b表示出來，再根據基本不等式求最大值．

解答：解：設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右頂點為A，其坐標是（a，0），由焦點為C，坐標為(

a2+b2

，0)；
設雙曲線

y2

b2

-

x2

a2

=1上頂點為B，坐標為（0，b），上焦點為D，坐標為(0，

a2+b2

)．O為坐標原點．
則S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以

S1

S2

=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題考查雙曲線的簡單幾何性質和使用基本不等式求二元函數的最值．考點：圓錐曲線與方程、不等式．