Question

已知函數f（x）=

1

3

ax³+2x²，其中a＞0
（1）當a=3時，求過點（

4

7

，0）且與曲線y=f（x）（x＞0）相切的直線方程
（2）若f（x）在區間[-1，1]上的最小值為-2，求的值．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義可知在x處的導數等于切線的斜率，建立等式關系，求出切點的橫坐標，代入函數關系式，求出切點坐標，最后利用點斜式方程寫出切線方程即可．
（2）先求導f′（x）=ax²+4x=x（ax+4），再對a進行分類討論：當-1≤-

4

a

，當-

4

a

＜-1；分別求得f（x）在區間[-1，1]上的最小值，從而列出關于a的方程即可求得a=12．

解答：解：（1）a=3時f（x）=x³+2x²f′（x）=3x²+4x
設切點（m，m³+2m²）（m＞0），則在切點處的切線的斜率為k=3m²+4m
∴切線方程y-m³-2m²=（3m²+4m）（x-m）
∵過（

4

7

，0）
∴-m³-2m²=（3m²+4m）（

4

7

-m）即7m³+m²-8m=0
m=0（舍）或m=1或m=-

8

7

∴所求的切線方程7x-y-4=0
（2）f（x）=

1

3

ax³+2x²∴f′（x）=ax²+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-

4

a

或x＞0，f′（x）＜0，-

4

a

＜x＜0
y=f（x）在x＜-

4

a

或x＞0上單調增，在-

4

a

＜x＜0上單調減．
當-1≤-

4

a

即a≥4時y=f（x）在[-1，-

4

a

]，[0，1]上單調增，在[-

4

a

，0]上單調減，f（x）的最小值在x=-1或x=0時取到，
f（0）=0不符合題意，f（-1）=-

1

3

a+2，a=12
當-

4

a

＜-1即0＜a＜4時y=f（x）在[0，1]上單調增，在[-1，0]上單調減
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．