Question

f（x）=x²-2ax+2，若?x∈[-1，1]，都?θ∈R，f（x）≥2log₂（sinθ+cosθ），求a的范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據兩角和的正弦公式容易求得2log₂（sinθ+cosθ）的最大值為1，所以只要f_min（x）≥1即可，所以討論f（x）的對稱軸x=a和區間[-1，1]的關系求出f（x）的最小值，從而求得a的范圍．

解答： 解：sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)≤

2

；
∴2log₂（sinθ+cosθ）≤1；
∴f_min（x）≥1；
f（x）對稱軸為x=a；
∴①若a≤-1，則f（x）在[-1，1]上單調遞增；
∴f_min（x）=f（-1）=3+2a≥1；
∴a≥-1；
∴a=-1；
②若-1＜a＜1，則：
fmin(x)=f(a)=-a2+2≥1；
解得-1≤a≤1；
∴-1＜a＜1；
③若a≥1，則f（x）在[-1，1]上單調遞減；
∴f_min（x）=f（1）=3-2a≥1；
解得a≤1；
∴a=1；
綜上得a的范圍為[-1，1]．

點評：考查兩角和的正弦公式，對數函數的單調性，以及二次函數的單調性，頂點，及最小值的求解過程．