【題目】如圖，由直三棱柱
和四棱錐
構成的幾何體中，
，平面
平面
.
（1）求證：
；
（2）在線段
上（含端點）是否存在點P，使直線
與平面
所成的角的正弦值為
？若存在，求
的值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在；
.
【解析】
（1）根據題意可知
，然后根據面面垂直的性質定理可知
平面
，進一步可得結果.
（2）建立空間直角坐標系，假設
計算平面
的一個法向量
，以及
，然后根據
，計算可得
.
（1）證明：直三棱柱
中，，
平面
平面
，平面
平面
，
所以平面，
因為
平面，所以
.
（2）假設線段
上（含端點）存在點P，
使直線
與平面所成的角的正弦值為
，
以A為原點，
為x軸，
為y軸，
為z軸，
建立空間直角坐標系，如圖
則
，
設，
則
，
，
所以
，
設平面的法向量
，
則
取
，得
，
因為直線與平面所成的角正弦值為，
設直線與平面所成的角為
，
所以
，
解得
，或
（舍）
所以在線段上（含端點）存在點P，
使直線與平面所成的角正弦值為，
解得.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
（
，
）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A.
B.若把函數
的圖像向左平移
個單位，則所得函數是奇函數
C.若把的橫坐標縮短為原來的
倍，縱坐標不變，得到的函數在
上是增函數
D.
，若
恒成立，則
的最小值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“支付寶捐步”已經成為當下最熱門的健身方式，為了了解是否使用支付寶捐步與年齡有關，研究人員隨機抽取了5000名使用支付寶的人員進行調查，所得情況如下表所示：
50歲以上 | 50歲以下 | |
使用支付寶捐步 | 1000 | 1000 |
不使用支付寶捐步 | 2500 | 500 |
（1）由上表數據，能否有99.9%的把握認為是否使用支付寶捐步與年齡有關？
（2）55歲的老王在了解了捐步功能以后開啟了自己的捐步計劃，可知其在捐步的前5天，捐步的步數與天數呈線性相關．
第x天 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 |
步數 | 4000 | 4200 | 4300 | 5000 | 5500 |
（i）根據上表數據，建立
關于
的線性回歸方程
；
（ii）記由（i）中回歸方程得到的預測步數為
，若從5天中任取3天，記
的天數為X，求X的分布列以及數學期望．
附參考公式與數據：
，
；K2=
；
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平面上一動點A的坐標為
.
（1）求點A的軌跡E的方程；
（2）點B在軌跡E上，且縱坐標為
.
（i）證明直線AB過定點，并求出定點坐標；
（ii）分別以A，B為圓心作與直線
相切的圓，兩圓公共弦的中點為H，在平面內是否存在定點P，使得
為定值？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC的中點.將△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，連接AE，AC，DE，得到三棱錐A－BCD.
（1）求證：平面ABD⊥平面BCD
（2）若AD=1，二面角C－AB－D的余弦值為
，求二面角B－AD－E的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的極坐標方程是
，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為
軸的正半軸，且取相等的單位長度，建立平面直角坐標系，直線
的參數方程是
（
是參數），設點
．
(Ⅰ)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的參數方程化為普通方程；
(Ⅱ)設直線與曲線相交于
兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，且橢圓上一點
的坐標為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線
與橢圓交于
，
兩點，且以線段
為直徑的圓過橢圓的右頂點
，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是圓
上任意一點，過點作
軸于點
，延長
到點
，使
.
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）過點
作圓O的切線l，交（1）中曲線E于
兩點，求
面積的最大值.
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