Question

已知函數f（x）=

1

2

ax2+lnx．
（1）當a=-

1

4

時，求函數f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-

1

8

x2+lnx，對函數求導可得f′(x)=-

x

4

+

1

x

=

4-x2

4x

=

-(+2)(x-2)

4x

，從而可求函數在區間[1，e]上單調性進而可求函數的最大值域最小值
（2）對函數求導，f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

①當a≥0時，分別由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函數的單調區間
②當a＜0時，由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函數單調區間

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

ax2+lnx．
當a=-

1

4

時，f（x）=-

1

8

x2+lnx
∴f′(x)=-

x

4

+

1

x

=

4-x2

4x

=

-(x+2)(x-2)

4x

令f′（x）=0可得x₁=2，x₂=-2
當x∈[1，2]，f′（x）＞0，當x∈[2，e]時，f′（x）＜0
∴函數在區間[1，e]上，有x₁=2時，f(x)max=-

1

2

+ln2，f（x）_min=min{f（1），f（e）}
而f（1）=-

1

8

，f(e)=-

1

8

e2+1＞f(1)=-

1

8

∴f（x）_min=-

1

8

（2）∵f(x)=

1

2

ax2+lnx
∴f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

①當a≥0時，由f′（x）＞0可得，x＞0，由f′（x）＜0可得x＜0
又x＞0
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增
②當a＜0時，f′(x)=

ax2+1

x

=

a(x- - 1 a )(x+ - 1 a )

x

由f′（x）＞0可得，x∈(-∞，-

- 1 a

)∪(0，

- 1 a

)
由f′（x）＜0可得，x∈(-

- 1 a

，0)∪ (

- 1 a

，+∞)，又x＞0
∴f（x）的單調遞增區間（0，

- 1 a

），減區間（

- 1 a

，+∞）

點評：本題主要考查了函數的導數 求解函數的極值及函數的最值，利用導數判斷函數的單調區間，解題中要注意分類討論思想的應用．