Question

已知矩陣，其中a∈R，若點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P′（0，-3），
（1）求實數a的值；
（2）求矩陣A的特征值及特征向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點P在矩陣A的變化下得到的點P′（0，-3），寫出題目的關系式，列出關于a的等式，解方程即可．
（2）寫出矩陣的特征多項式，令多項式等于0，得到矩陣的特征值，對于兩個特征值分別解二元一次方程，得到矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量和矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量．
解答：解：（1）由 =，
得a+1=-3
∴a=-4
（2）由（1）知，
則矩陣A的特征多項式為
令f（λ）=0，得矩陣A的特征值為-1或3
當λ=-1時二元一次方程
∴矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量為
當λ=3時，二元一次方程
∴矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為．
點評：本題考查二階矩陣，考查二階矩陣的特征值的求法，考查二階矩陣的特征向量的求法，因為是高等數學的內容，考查的比較簡單，是一個中檔題．