Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）求證：對(duì)一切n∈N^*且n≥2，有a22+a32+…+an2＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）直接利用遞推式，代入計(jì)算即可；
（2）對(duì)數(shù)列遞推式取倒數(shù)，再疊乘，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)通項(xiàng)平方，再放縮，利用裂項(xiàng)求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

∴a3=

1

7

，a4=

1

10

．
（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

-1=

n(1-an)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，依次代入得

1

an+1

-1=n(

1

a2

-1)．
整理得當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=

1

3n+1

，即an=

1

3n-2

．
又n=1時(shí)也成立，故an=

1

3n-2

，n∈N^*．
（3）證明：當(dāng)k≥2時(shí)，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，
從而

n

k=1

ak2=1+

n

k=2

ak2＜1+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)＜

7

6

．所以有

n

k=2

ak2＜

1

6

．
綜上，對(duì)一切n∈N^*，有

n

k=2

ak2＜

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮、裂項(xiàng)求和．