Question

如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，∠,點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由側面，均為正方形可證明三棱柱是直三棱柱. 又點是棱的中點可證明.從而通過線面垂直的判定定理可證⊥平面；（Ⅱ）連結，交于點，連結，通過三角形中位線的知識證明線線平行，從而由線面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根據題中相關垂直條件構建空間直角坐標系.再找平面的法向量及平面的法向量，計算法向量的夾角，通過比較得到二面角的平面角，從而得到所求.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為側面，均為正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　     1分

因為平面，所以，　　 2分

又因為，為中點，

所以.                  3分

因為,

所以平面.           4分

（Ⅱ）證明：連結，交于點，連結，

因為為正方形，所以為中點，

又為中點，所以為中位線，

所以，              6分

因為平面，平面，

所以平面.         8分

(Ⅲ)解： 因為側面，均為正方形， ，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系.

設，則.

，             9分

設平面的法向量為，則有

取，得.                                    10分

又因為平面，所以平面的法向量為，

設二面角的平面角為，則

∴            11分

所以，二面角的余弦值為.             12分

考點：1.線面垂直的判定定理；2.線面平行的判定定理；3.二面角.