Question

（本小題滿分16分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，和為等腰直角三角形，,設(shè)和的外接圓圓心分別為.

 

 

（Ⅰ）若圓M與直線相切，求直線的方程；

（Ⅱ）若直線截圓N所得弦長(zhǎng)為4，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的圓N，使得圓N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，若存在，求此時(shí)圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓心，所以圓的方程為，

直線的方程為.

圓與直線相切，圓心到直線的距離，

化簡(jiǎn)得：.

直線的方程為.   ·······························5分

（2）直線方程為：，圓心，

圓心到直線的距離為.

直線截圓的弦長(zhǎng)為4， （負(fù)值舍去）

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.····················10分

（3）存在。

由（2）知，圓心到直線的距離為（定值），且始終成立，

當(dāng)且僅當(dāng)圓半徑即時(shí)，

圓上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為.

此時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為························16分

【解析】略