Question

對一切自然數nÎN*先猜出使tⁿ>n²的最小自然數t，然后用數學歸納法證明，并證明不等式：(nÎN*)

Answer 1

答案：
解析：

令t=1，2均不能使nÎN*。有tn>n2，猜想3n>n2對一切自然數nÎN*成立。 證明：當n=1時，31>12成立。當n=2時，32>22也成立，假設k³2時有3k>k2，則當n=k+1時，3k+1-(k+1)2=3×3k-(k2+2k+1)>3×k2-(k2+2k+1)=2k2-2k-1=(k-1)2+k2-2>0(k³2)。即n=k+1時不等式也成立。所以3n>n2對nÎN*均成立。由3k>2kÞklg3>2lgk令k=1，2，3，…，n，得n個不等式，再將它們相加得(1×2×3×…×n)。即有。