Question

如果正實數a，b滿足a^b=b^a．且a＜1，證明a=b．

Answer 1

分析：這道題可以有三種不同的證明方法．證法一的思路：由a^b=b^a，得blna=alnb，從而

lna

a

=

lnb

b

，考慮函數y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)，它的導數是y′=

1-lnx

x2

.然后根據函數的單調性用反證法進行證明．
證法二的思路是因為0＜a＜1，a^b=b^a，所以blog_aa=alog_ab，即

b

a

=logab．然后根據對數函數的性質用反證法進行證明．
證法三的思路是假如a＜b，則可設b=a+ε，其中ε＞0由于0＜a＜1，ε＞0，根據冪函數或指數函數的性質用反證法進行證明．

解答：證一：由a^b=b^a，得blna=alnb，從而

lna

a

=

lnb

b

考慮函數y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)，它的導數是y′=

1-lnx

x2

.
因為在（0，1）內f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）內是增函數
由于0＜a＜1，b＞0，所以a^b＜1，從而b^a=a^b＜1．由b^a＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
則根據f（x）在（0，1）內是增函數，
得f（a）≠f（b），即

lna

a

≠

lnb

b

，
從而a^b≠b^a這與a^b=b^a矛盾
所以a=b
證二：因為0＜a＜1，a^b=b^a，
所以blog_aa=alog_ab，即

b

a

=logab
假如a＜b，則

b

a

＞1，但因a＜1，
根據對數函數的性質，
得logab＜logaa=1，從而

b

a

＞logab，這與

b

a

=logab矛盾
所以a不能小于b
假如a＞b，則

b

a

＜1，而log_ab＞1，這也與

b

a

=logab矛盾
所以a不能大于b，因此a=b
證三：假如a＜b，則可設b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根據冪函數或指數函數的性質，得a^ε＜1和(1+

ε

a

)a＞1，
所以aε＜(1+

ε

a

)a，aaaε＜aa(1+

ε

a

)a，aa+ε＜(a+ε)a，
即a^b＜b^a．這與a^b=b^a矛盾，所以a不能小于b
假如b＜a，則b＜a＜1，可設a=b+ε，其中ε＞0，同上可證得a^b＜b^a．
這于a^b=b^a矛盾，所以a不能大于b
因此a=b

點評：反證法是證明的一種重要方法，一題多證、舉一反三能夠有效地提高我們的證明能力．