Question

（理）已知{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；（2）設數列{}的前n項和為T_n，證明T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d．結合a₁、a₃、a₉成等比數列，得到d．進而求出數列{a_n}的通項公式．
（2）根據（1）中得出的數列{a_n}的通項公式，從而求得數列{}的通項公式，再利用拆項法求出其前n項和即可證得結論．
解答：解：（1）由題設知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數列得，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通項a_n=1+（n-1）×1=n．                         …（5分）
（2）（理）∵n≥2時，，…（7分）
∴．
∵n∈N^*，∴．…（10分）
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數列與等差數列的性質，利用性質解決問題．另外裂項求和是�？紨盗星蠛偷姆椒ǎ�并通過放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．