Question

是否存在一個實數k，使方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦？

Answer 1

設直角三角形兩個銳角為α，β，則sinα，sinβ是方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個根．
∵α+β=90°，∴sinβ=cosα
根與系數的關系，得

sinα+cosα=- 3k 4 ① sinαcosα= 2k+1 8 ②

①²-2×②得9k²-8k-20=0
∴k₁=2，k₂=-

10

9

當k=2時變為8x²+12x+5=0，
△=144-160＜0
∴k=2舍去．
將k=-

10

9

代入②，得sinα•cosα=sinα•sinβ=-

11

72

，
∴sinα，sinβ異號，應有sinα＜0或sinβ＜0，實際上sinα＞0，sinβ＞0，
∴k=-

10

9

不滿足題意，
∴k值不存在．