Question

設函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3處取得極值，求常數a的值；
（2）設集合A={x|f′（x）＜0}，B={x|

x-4

x-3

＞0}，若A∩B元素中有唯一的整數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的導函數，由f（x）在x=3處取得極值，得f′（3）=0，由此列式求出a的值；
（2）求解分式不等式化簡集合B，分a＞1和a＜1求解f′（x）＜0，然后結合數軸，利用A∩B元素中有唯一的整數，求a的取值范圍．

解答：解：（1）由函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，得
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
∵f（x）在x=3取得極值，∴f′（3）=6（3-a）（3-1）=0，解得a=3．
經檢驗知，當a=3時，x=3為f（x）的極值點，故a=3；
（2）由

x-4

x-3

＞0，解得x＜3或x＞4．
∴B=（-∞，3）∪（4，+∞），
集合A={x|f′（x）＜0}，
由f′（x）=6（x-a）（x-1）．
當a＞1時，A=（1，a），如圖，

該整數為2，結合數軸可知2＜a≤5．
當a＜1時，A=（a，1），如圖，

該整數為0，結合數軸可知-1≤a＜0．
當a=1時，A=∅，不滿足條件．
綜上可知，a的取值范圍是：[-1，0）∪（2，5]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了不等式的解法，訓練了利用交集求解參數的取值范圍，是中檔題．