Question

如果sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  π

  4

  )
• B、(

  π

  2

  ，

  3π

  4

  )
• C、(

  π

  4

  ，

  5π

  4

  )
• D、(

  5π

  4

  ，2π)

Answer 1

分析：先將sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ變形成sin³θ+sinθ＞cos³θ+cosθ，然后構造函數f（x）=x³+x，將原不等式轉化成f（sinθ）＞f（cosθ），利用導數研究函數f（x）的單調性可得sinθ＞cosθ，在θ∈（0，2π）上求出θ的取值范圍即可．

解答：解：sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ?sin³θ+sinθ＞cos³θ+cosθ．
設f（x）=x³+x∵f′（x）=3x²+1＞0∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，
∴原不等式?f（sinθ）＞f（cosθ）?sinθ＞cosθ，又∵θ∈（0，2π），
∴

π

4

＜θ＜

5π

4

，
故選C．

點評：本題為比較大小題型的拓展，函數單調性是比較大小的重要方法之一，所以這類題型都可以考慮構造函數，通過函數單調性解決問題．