Question

【題目】已知函數f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函數f(x)的單調遞減區間；

⑵若，證明：．

Answer 1

【答案】⑴（0，＋∞）；⑵證明見詳解

【解析】

第一問利用導數求函數的單調遞減區間，第二問是函數類不等式的證明，這類問題常常以導數為工具，利用函數的單調性來解決．

解：解：（1）函數f(x)的定義域為．＝－1＝－．由<0及x>－1，得x>0．∴ 當x∈（0，＋∞）時，f(x)是減函數，即f(x)的單調遞減區間為（0，＋∞）．

（2）證明：由⑴知，當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，

因此，當時，≤，即≤0∴．

令，則＝．

∴ 當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．

∴ 當時，≥，即≥0，∴．

綜上可知，當時，有．