Question

【題目】已知點、是雙曲線：的左右焦點，其漸近線為，且右頂點到左焦點的距離為3.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與相交于、兩點，直線的法向量為，且，求的值；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點滿足，求的值及的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），

【解析】

（1）由漸近線為，可知，由右頂點到左焦點的距離為3，可知，再根據，求解，，即可.

（2）由題意可知，直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，得，根據韋達定理，確定，，再由，得，求解的值，即可.

（3）有（2）可知，從而確定，設，由得，代入雙曲線的方程，解得值以及點坐標，利用點到直線距離公式，求解點到直線的距離.再求解的面積即可.

解：（1）由題意得解得，，

所以雙曲線的方程為：.

（2）直線的方程為，由，得（*）

所以

由得

即

代入化簡，并解得（舍去負值）

（3）把代入（*）并化簡得，

此時，

所以

設，由得代入雙曲線的方程解得

（舍），，所以，

點到直線的距離為，

所以.