Question

先解答（Ⅰ），再通過結(jié)構(gòu)類比解答（Ⅱ）：
（Ⅰ）求證：tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

；
（Ⅱ） 設(shè)x∈R且f（x+π）=

1+f(x)

1-f(x)

，試問：f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）證明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．
（Ⅱ）f（x）是以4π為其一個周期的周期函數(shù)．
f(x+2π)=f(x+π+π)=

1+f(x+π)

1-f(x+π)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f(x+4π)=f[(x+2π)+2π]=-

1

f(x+2π)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)，
所以f（x）是周期函數(shù)，其中一個周期為4π．