Question

在某海濱城市附近有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市)O(如圖)東偏南θ(θ＝arccos)方向300km的海面P處，并以20km／h的速度向西偏北方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10kw/h的速度不斷增大．問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

Answer 1

答案：
解析：

熱點分析　　本小題主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根據所給條件選擇適當坐標系和圓的方程等基礎知識，考查運用所學知識解決實際問題能力． 　　解答　　解法一：設在時刻t(h)臺風中心為Q，此時臺侵襲的圓形區域半徑為10t＋60(km) 　　若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則 　　OQ≤10t＋60． 　　OQ2＝OP2＋PQ2－2·PQ·POcosOPQ． 　　由于PO＝300，PQ＝20t． 　　cos∠OPQ＝cos(θ－) 　　＝cosθcos＋sinθsin 　　＝×＋× 　　故OQ2＝(20t)2＋3002－t×20t×300× 　　＝202t2－9600t＋3002， 　　因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2， 　　即t2－36t＋288≤0， 　　解得12≤t≤24 　　答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲． 　　解法二：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向，在時刻t(h)臺風中心P(，)的坐標為 　　 　　此時臺風侵襲區域是 　　(x－)2＋(y－)2≤[r(t)]2 　　其中r(t)＝10t＋60 　　若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有 　　(0－)2＋(0－)2≤(10t＋60)2 　　即(300×－20×t)2＋(－300×＋20×t)2≤(10t＋60)2 　　即t2－36t＋288≤0， 　　解得12≤t≤24 　　答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲． 　　評析　　本題考查以解析思想方法解決改變圓范圍的應用問題．