Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，，E是SC的中點。
（I）求證：SA//平面BDE；
（II）求證：；
（III）若SD=2，求二面角E—BD—C的余弦值。

Answer 1

解：
（Ⅰ）連結AC交BD于F，連結EF，

由ABCD是平行四邊形，知F為AC的中點，
又E為SC的中點，所以SA∥EF，
∵SAË平面BDE，EFÌ平面BDE，
∴SA∥平面BDE．…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30°，及余弦定理得
取BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝1，
∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SBÌ平面SBD，
∴AD⊥SB．…………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）取CD的中點G，連結EG，則EG⊥面BCD，且EG＝1．
設三棱錐C—BDE的高為h，
在△BDE中，BD＝1，DE＝BE＝SC＝，EF＝．
在Rt△BCD中，BD＝1，BC＝，∠CBD＝90°．
∵VC—BDE＝EE—BCD，
∴··BD·EF·h＝··BD·BC·EG，
∴h＝＝．…………………………………………………………12分

解析