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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

（本題滿分14分）

如圖所示的長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，為與的交點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

(Ⅰ) 見解析(Ⅱ)見解析（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）連接，如圖，∵、分別是、的中點(diǎn)，是矩形，

∴四邊形是平行四邊形，∴． ……………………………………………2分

∵平面，平面，

∴平面．………………………… 4分

（Ⅱ）連接，∵正方形的邊長(zhǎng)為，，

∴，，，

則，∴． ……………6分

∵在長(zhǎng)方體中，，

，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面． ……………………………8分

（Ⅲ）在平面中過點(diǎn)作于，連結(jié)，

∵，，

∴平面，又平面， ……………………9分

∴，又，且，

∴平面，而平面， ………………………………_ks5u

_ks5u

10分

∴．

∴是二面角的平面角． …………………………_ks5u

_ks5u

12分

在中，，

∴，，

∴二面角的大小為． ………………………………………_ks5u

_ks5u

14分

解法2（坐標(biāo)法）：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接，則點(diǎn)、，

∴

又點(diǎn)，，

∴

∴，且與不共線，

∴．

又平面，平面，

∴平面． …………………………………_ks5u

_ks5u

4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面． …………………………………………_ks5u

_ks5u

8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為平面的法向量．

∵，，

∴為平面的法向量．

∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為． ……………………………14分

（Ⅲ）（法三）設(shè)二面角的大小為，在平面內(nèi)的射影就是，根據(jù)射影面積公式可得，，

∴，∴二面角的大小為 …………_ks5u

_ks5u

14分

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