Question

如圖，設拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，．求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x²=2py（p＞0）上，其中，點C滿足（O為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意先設出A，B和M的坐標，對拋物線方程求導，進而表示出AM，BM的斜率，則直線AM和BM的直線方程可得，聯立后整理求得2x=x₁+x₂．推斷出A，M，B三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，x=2代入拋物線方程整理推斷出x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，利用韋達定理求得x₁+x₂的值，表示出直線AB的方程，利用弦長公式求得|AB|，進而求得p，則拋物線的方程可得．
（Ⅲ）設出D點的坐標，進而表示出C的坐標，則CD的中點的坐標可得，代入直線AB的方程，把D點坐標代入拋物線的方程，求得x₃，然后討論x=0和x≠0時，兩種情況，分析出答案．
解答：解：（Ⅰ）證明：由題意設．
由x²=2py得，得，
所以，．
因此直線MA的方程為，
直線MB的方程為．
所以，①．②
由①、②得，
因此，即2x=x₁+x₂．
所以A，M，B三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x=2時，
將其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，
所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，
又，
所以．
由弦長公式得．
又，
所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為x²=2y或x²=4y．
（Ⅲ）解：設D（x₃，y₃），由題意得C（x₁+x₂，y₁+y₂），
則CD的中點坐標為，
設直線AB的方程為，
由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，
代入得．
若D（x₃，y₃）在拋物線上，則x₃²=2py₃=2xx₃，
因此x₃=0或x₃=2x．
即D（0，0）或．
（1）當x=0時，則x₁+x₂=2x=0，此時，點M（0，-2p）適合題意．
（2）當x≠0，對于D（0，0），此時，=，
又，AB⊥CD，
所以，
即x₁²+x₂²=-4p²，矛盾．
對于，因為，此時直線CD平行于y軸，
又，
所以直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，
所以x≠0時，不存在符合題意的M點．
綜上所述，僅存在一點M（0，-2p）適合題意．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系的綜合問題．考查了學生分析推理和分類討論思想的運用．