Question

已知奇函數f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

（1）求實數m的值，并在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象；
（2）若函數f（x）在區間[-1，-2]上單調遞增，試確定的取值范圍．

Answer 1

分析：題干錯誤：（2）若函數f（x）在區間[-1，-2]上單調遞增，應該是：（2）若函數f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增
（1）設x＜0，則-x＞0，可得f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．再由f（-x）=-f（x），求得f（x）=x²+2x=x²+mx，從而求得m的值．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，結合f（x）的圖象知

a-2＞-1 a-2≤1

，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）由于奇函數f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

，設x＜0，則-x＞0，
所以，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），
于是x＜0時，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2，如圖所示：

（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，
結合f（x）的圖象知

a-2＞-1 a-2≤1

，

解得1＜a≤3，故實數a的取值范圍是（1，3]．

點評：本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，作函數的圖象，函數的單調性的應用，屬于中檔題．