Question

在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為

x=4cosθ y=4sinθ

 (θ為參數）．直線l經過點P（2，2），傾斜角α=

π

3

．
（1）寫出圓的標準方程和直線l的參數方程．
（2）設l與圓C相交于A、B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1，消去參數θ，求得C的普通方程；再根據直線經過點P（2，2），傾斜角
α=

π

3

，求出直線l的參數方程．
（2）把l的參數方程代入圓的方程，利用根與系數的關系求得 t₁•t₂=-8，再由直線參數方程中參數的幾何意義
求得|PA|•|PB|的值．

解答：解：（1）∵C的參數方程為

x=4cosθ y=4sinθ

 (θ為參數），利用sin²θ+cos²θ=1，消去參數可得 x²+y²=16．
由于l經過點P（2，2），傾斜角α=

π

3

，可得直線l的參數方程 

x=2+tcos π 3 y=2+tsin π 3

．
（2）把l的參數方程

x=2+tcos π 3 y=2+tsin π 3

 代入圓的方程x²+y²=16 可得
t²+2（

3

+1）t-8=0，∴t₁•t₂=-8，∴|PA|•|PB|=8．

點評：本題主要考查參數方程與普通方程之間的轉化，直線和圓的位置關系的應用，屬于基礎題．