Question

【題目】已知函數，是的導函數。

（1）證明：在內存在唯一的極小值點；

（2）證明：當時，有且只有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）令，可知函數在單調遞增，利用零點存在定理并結合函數在上的單調性可證明出函數在內存在唯一的極小值點；

（2）利用導數證明出函數在區間上為增函數，結合零點存在定理可證明出函數在區間只有一個零點，利用（1）中的結論可證明出函數在區間上沒有零點，再由以及函數在上單調遞增，可證明出函數有且只有兩個零點.

（1）令，則，

顯然函數在單調遞增.

因為，，

（因為）

故存在唯一的使得.

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以函數，即在區間存在唯一的極小值點，且；

（2）當時，，函數單調遞增，，，，

所以，函數在區間上存在唯一的零點.

當時，由（1）當時，，函數單調遞減，，，所以存在，使得，

當，，當，，

所以在先遞增后遞減，，，

函數在沒有零點；

因為，所以是函數的第二個零點；

時，，函數單調遞增，，沒有零點.

綜上所述，當時，函數有且只有兩個零點.