Question

如圖所示，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，F₁，F₂分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：根據點P是雙曲線的左支上的一點，及雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面積為2，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根據余弦定理可以求得a，c的一個方程，雙曲線的離心率為2，根據雙曲線的離心率的定義式，可以求得a，c的一個方程，解方程組即可求得該雙曲線的方程．
解答：解：設雙曲線方程為：-=1（a＞0，b＞0），
F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x，y）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|．
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．
又∵S_△PF1F2=2．
∴|PF₁|•|PF₂|•sin=2．
∴|PF₁|•|PF₂|=8．∴4c²=4a²+8，即b²=2．
又∵e==2，∴a²=．
∴雙曲線的方程為：-=1．
點評：此題是個中檔題．考查雙曲線的定義和待定系數法求雙曲線的標準方程，及利用余弦定理解圓錐曲線的焦點三角形，解題過程注意整體代換的方法，簡化計算．