Question

【題目】下圖是一塊平行四邊形園地，經(jīng)測(cè)量，.擬過(guò)線段上一點(diǎn) 設(shè)計(jì)一條直路（點(diǎn)在四邊形的邊上，不計(jì)直路的寬度），將該園地分為面積之比為的左，右兩部分分別種植不同花卉.設(shè)（單位：m）.

（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，試確定點(diǎn)的位置；

（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試確定點(diǎn)的位置，使直路的長(zhǎng)度最短.

Answer 1

【答案】(1)是的中點(diǎn);(2);(3) 當(dāng),時(shí),最短,其長(zhǎng)度為.

【解析】

(1)由可知,從而證明是的中點(diǎn).

(2)求出平行四邊形的面積為,進(jìn)而可求,從而用 可將表示出來(lái),利用余弦定理即可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值;當(dāng)時(shí),由基本不等式可求最值.

解:(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),由題設(shè)知,.

于是,其中為平行四邊形邊上的高.

得,即點(diǎn)是的中點(diǎn).

(2)因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以.當(dāng)時(shí),由(1)知

點(diǎn)在線段上.因?yàn)?/span>

所以.

由得,.所以中,由余弦定理得

.

當(dāng)時(shí),點(diǎn)在線段上,由

得.當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

化簡(jiǎn)均為.

綜上,.

(3)當(dāng)時(shí),,

于是當(dāng)時(shí),,此時(shí).

當(dāng)時(shí),

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)

綜上： 當(dāng)距點(diǎn)，距點(diǎn)時(shí)，最短，其長(zhǎng)度為.