Question

設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零．記S(m，n)為所有這樣的數表構成的集合．

對于A∈S(m，n)，記r_i(A)為A的第i行各數之和(1≤i≤m)，c，(A)為A的第j列各數之和(1≤j≤n)；記k(A)為|r₁(A)|，|r₂(A|，…，|r_m(A)|，|c₁(A)|，|c₂(A)|，…，|c_n(A)|中的最小值．

(1)對如下數表A，求k(A)的值；

(2)設數表A∈S(2，3)形如

求k(A)的最大值；

(3)給定正整數t，對于所有的A∈S(2，2t＋1)，求k(A)的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意可知，，，， 　　∴ 　　(2)先用反證法證明： 　　若 　　則，∴ 　　同理可知，∴ 　　由題目所有數和為 　　即 　　∴ 　　與題目條件矛盾 　　∴． 　　易知當時，存在 　　∴的最大值為1 　　(3)的最大值為． 　　首先構造滿足的： 　　， 　　． 　　經計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且 　　， 　　， 　　． 　　下面證明是最大值．若不然，則存在一個數表，使得． 　　由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區間中．由于，故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于． 　　設中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則．另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負． 　　考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少于個負數，每個正數的絕對值不超過1(即每個正數均不超過1)，每個負數的絕對值不小于(即每個負數均不超過)．因此 　　， 　　故的第一行行和的絕對值小于，與假設矛盾．因此的最大值為．