Question

設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”．

（Ⅰ） 數表A如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）； 

1	2	3	﹣7
﹣2	1	0	1

表1

（Ⅱ） 數表A如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數a的所有可能值；

a	a2﹣1	﹣a	﹣a2
2﹣a	1﹣a2	a﹣2	a2

表2

（Ⅲ）對由m×n個實數組成的m行n列的任意一個數表A，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由．

Answer 1

考點：

切變變換．

專題：

計算題；圖表型．

分析：

解：（I）根據題中一次“操作”的含義，將原數表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫出一種即可）

（II）  每一列所有數之和分別為2，0，﹣2，0，每一行所有數之和分別為﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和為2a﹣1，第二行之和為5﹣2a，列出不等關系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；

（III） 按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和），由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數陣中mn個數之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只

是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，數表中mn個數之和必然小于等于，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止，終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立．

解答：

解：（I）

法1：

1	2	3	﹣7
﹣2	1	0	1

改變第4列得：

1	2	3	7
﹣2	1	0	﹣1

改變第2行得：

1	2	3	7
2	﹣1	0	1

法2：

1	2	3	﹣7
﹣2	1	0	1

改變第2行得：

1	2	3	7
2	﹣1	0	﹣1

改變第4列得：

1	2	3	7
2	﹣1	0	1

法3：

1	2	3	﹣7
﹣2	1	0	1

改變第1列得：

﹣1	2	3	7
2	1	0	﹣1

改變第4列得：

﹣1	2	3	7
2	1	0	﹣1

（寫出一種即可）                                                  …（3分）（II）   每一列所有數之和分別為2，0，﹣2，0，每一行所有數之和分別為﹣1，1；

①如果操作第三列，則

a	a2﹣1	a	﹣a2
2﹣a	1﹣a2	﹣a+2	a2

則第一行之和為2a﹣1，第二行之和為5﹣2a，

，解得a=1，a=2．…（6分）

②如果操作第一行

﹣a	﹣a2+1	a	a2
2﹣a	1﹣a2	a﹣2	a2

則每一列之和分別為2﹣2a，2﹣2a²，2a﹣2，2a²

解得a=1                                     …（9分）

綜上a=1                                             …（10分）

（III） 證明：按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）

由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，

從而也就使得數陣中mn個數之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，

但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，

顯然，數表中mn個數之和必然小于等于，

可見其增加的趨勢必在有限次之后終止，終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立 …（13分）

點評：

本題主要考查了進行簡單的演繹推理，以及新定義的理解和切變變換的應用，同時考查了分析問題的能力，屬于難題．