Question

已知函數f（x）=2x+

a

x

，且f（1）=1   
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）函數f（x）在（1，+∞）上是增函數還是減函數？并證明．

Answer 1

分析：（1）由題意，函數f（x）=2x+

a

x

，且f（1）=1，可得方程2+a=1，解方程即可得到a的值；
（2）先判斷f（-x）與f（x）的關系，再由定義得出函數的奇偶性；
（3）由函數解析式f（x）=2x-

1

x

，知此函數是一個增函數，由定義法證明即可．

解答：解：（1）∵f（1）=1，
∴2+a=1，得a=-1
（2）函數的定義域是{x|x≠1}
又f（-x）=-2x-

a

x

=-（2x+

a

x

）=-f（x），所以，函數是奇函數
（3）由（1）f（x）=2x-

1

x

，此函數在（1，+∞）上是增函數
任取1＜x₁＜x₂＜+∞，
f（X₁）-f（x₂）=（2 x₁-

1

x 1

）-（2x₂-

1

x 2

）=

(2x 1x 2+1)(x 1-x 2)

x 1x 2

由于1＜x₁＜x₂＜+∞，可得2x₁x₂+1＞0，x₁-x₂0
∴f（X₁）-f（x₂）=

(2x 1x 2+1)(x 1-x 2)

x 1x 2

＜0，
∴f（X₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了函數奇偶性的、函數單調性的判斷與證明，解題的關鍵是熟練掌握函數奇偶性與單調性的判斷方法，本題考察了推理判斷的能力，是函數中的基本題．